Примеры решения некоторых задач динамики

Пример 1. Расчет усилий в консольной стойке от удара легкового автомобиля

Нагрузка от удара автомобиля относится к особой нагрузке в соответствии с СП 296. В этом СП написано следующее:

5.5 При расчетах зданий и сооружений на особые воздействия коэффициент надежности по ответственности следует принимать равным 1,0 (СП 296.1325800.2017 Здания и сооружения. Особые воздействия1,0).

5.6 При расчетах зданий и сооружений на особые воздействия расчетные прочностные и деформационные характеристики материалов принимают равными их нормативным значениям согласно действующим нормативным документам.

5.9 …Перемещения, деформации конструкций и раскрытие в них трещин, соответствующие предельным состояниям второй группы, для расчетных аварийных ситуаций не ограничиваются.

8.2 Удары автотранспортных средств

8.2.1 Ударные нагрузки от автотранспортных средств следует относить к нормируемым (проектным) особым нагрузкам и учитывать для следующих типов зданий и сооружений:
— используемых для парковки автомобилей;
— в которых допускается движение транспортных средств или вилочных погрузчиков;
— граничащих с автодорожным или железнодорожным транспортным потоком при отсутствии полосы отчуждения;
— мостовых сооружений.
Расчет на ударные воздействия от автотранспортных средств следует проводить для пролетных строений мостов с подмостовым габаритом менее 6 м, а также для промежуточных стоечных опор.
Для случаев, когда возможно соударение автотранспортных средств с опорными конструкциями или фасадами зданий, расчетные значения эквивалентных квазистатических нагрузок следует принимать по таблице 8.1.
Таблица 8.1

     

Категория дороги по [3] и ГОСТ Р 52398

Сосредоточенная нагрузка СП 296.1325800.2017 Здания и сооружения. Особые воздействия, кН (в направлении движения)

Сосредоточенная нагрузка СП 296.1325800.2017 Здания и сооружения. Особые воздействия, кН (перпендикулярно направлению движения)

Автомагистрали и скоростные автомобильные дороги категорий IA и IБ

1000

500

Обычные автомобильные дороги категорий IB, II

750

375

Обычные автомобильные дороги категорий III-V

500

250

Дворовые территории и гаражи с движением:

   

— легковых автомобилей

50

25

— грузовых автомобилей (с общей массой более 3,5 т)

150

75

Нагрузки от столкновения грузовых автомобилей (с общей массой более 3,5 т) с частями сооружений следует учитывать в расчетах как равномерно распределенные по площади ударного контакта, которые прикладываются на высоте 1,0 м от уровня проезжей части.
Высоту площадки ударного контакта следует принимать равной 0,50 м, а ширину этой площадки — равной ширине конструктивного элемента, но не более 2,0 м.
Нагрузки от столкновения легковых автомобилей (с общей массой менее 3,5 т) с частями сооружений следует учитывать в расчетах как равномерно распределенные по площади ударного контакта, которые прикладываются на высоте 0,5 м от уровня проезжей части.
Высоту площадки ударного контакта следует принимать равной 0,25 м, а ширину этой площадки — равной ширине конструктивного элемента, но не более 1,5 м.
Для аварий, при которых габаритные размеры транспортного средства превышают размеры проема конструкции, площадь ударной нагрузки следует принимать равной площади контакта соударяемых объектов.

Задача.

Определить величину усилий в отдельно стоящей консольной стойке от удара легкового автомобиля Volkswagen Touareg массой 2,81 тс, ехавшего со скорость 20 км/ч по дворовой территории. 

В соответствии с СП 296, независимо от марки легкового автомобиля, горизонтальная нагрузка на стойку вдоль направления движения, по таблице 8.1, равна 50 кН. 

Рис. 1. Схема приложения нагрузки и усилия в стойке в соответствии с СП 296

Однако, в пункте п. 8.1.3 написано: «При соответствующем обосновании допускается выполнять динамический анализ ударного воздействия с использованием натурного или численного моделирования«.

Рассчитаем горизонтальную силу на стойку при указанных выше параметрах автомобиля и его скорости.

Пункт 10.2 правил дорожного движения: «Максимальная  скорость движения в жилой зоне или на дворовой территории составляет 20 км/ч«. 

Рассмотрим две возможные ситуации. 

Первая ситуация. Машина едет по двору с постоянной скоростью 20 км/ч, т.е. 5,56 м/с. Тогда сила кратковременного ударного импульса автомобиля в момент удара о стойку будет равна: 

S = m х v;

S = (2810 кг / 9,81 м / с2) х 5,6 м/с = 15,75 кН  х с,

где m — масса ударяющего тела (2810 кг);

 v — скорость автомобиля в момент касания стойки (в начальный момент удара) — 5,6 м/с;

Вторая ситуация. Машина трогается с места и ударяется о стойку.  Автомобиль Volkswagen Touareg набирает скорость 20 км/ч (5,56 м/с) за 1,15 с. Так как время набора скорости больше 1 секунды, то ускорение будет равно а = 5,56 / 1,15 = 4,83 м/с2, т.е. импульс силы (F = m х a) будет меньше, чем при ударе автомобиля ехавшего с постоянной скоростью 5,56 м/с, поэтому более опасной будем считать первую ситуацию и примем импульс равным S = 15,76 кН х с.  

Метод 1. Определим усилия в стойке приближенным методом теории удара, который рассматривается в теории упругости. Так как данный метод является приближенным, с рядом упрощений (например, не учитываются местные деформации, возникающие в телах в области их контакта при ударе, в реальности, передняя часть машины обычно сминается и на это тратится часть энергии удара, а также предполагается, что в ударяемом теле возникают только упругие деформации, что тоже не соответствует действительности, так как таких ограничений для данной конструкции нет), она может рассматриваться только в качестве грубого прикидочного расчета, который дает результат с большим запасом по отношению к реальному распределению усилий в конструкции в момент удара. 

Формула расчета для определения динамического коэффициента представляет собой условие равенства кинетической энергии движущейся машины и потенциальной энергии деформации стойки при действии условной динамической силы. 

Сечение металлической опоры примем 108 х 5 мм (данное сечение аналогично металлической опоре освещения ОТ-1-3,0/0,8). E = 2,1 х 10^4, J = 215,06 см4.

Перемещение стойки в точке удара на высоте 0,5 м от земли при статическом действии силы:

Δст = F х L^3 / 3 х E х J = 27.57 х 50^3 / 3 х 2,1 х 10^4 х 215,06 = 0.254 см

Коэффициент динамичности:

μдин = √ (v^2 / g Δст) = √ (556^2 / 981 х 0.254) = 35.2

Ударная сила с учетом динамического коэффициента:

Fдин = Fст х μдин = 2810 кг х 35.2 = 98.912 тс

Метод 2. Для определения усилий найдем коэффициент динамичности. Выполним динамический расчет на ударное воздействие с учетом 10 форм колебаний стойки.

Исходные данные для динамического расчета:

Вес ударяющего тела — 2,81 тс.

Время действия удара 0,01 с (при отсутствии данных принимают от 1 до 3 миллисекунд).

Период повторений — 0.

Количество повторений — 0.

Величина силы удара — 1,607 тс.

Форма импульса прямоугольная. При отсутствии данных, в запас, принимают прямоугольную форму импульса. Для резкого удара график импульса будет иметь колоколообразную форму.

Рис. 2. Портрет изменения величины импульса силы во времени 

Число учитываемых форм — 10.

В результате динамического расчета на ударное воздействие коэффициент динамичности равен μдин = 37 / 27.5661 = 1,34.

Рис. 3. Схема усилий в стойке от ударной нагрузки по результатам динамического расчета

Теперь рассчитаем скорость и ударную силу одного из самых тяжелых легковых автомобилей Volkswagen Phaeton V6 4 MOTION (максимальной массой  2910 кг), которую он может набрать трогаясь с места, через гипотетические 100 м пути по дворовой территории до момента удара о несущую конструкцию здания. Этот автомобиль набирает скорость 100 км/ч (27,78 м/с) за 9,7 секунды. Будем считать, что при максимальной массе он наберет эту скорость за 10 секунд. За 10 секунд автомобиль проедет L = 10 х 27,78 = 277,8 м. Тогда ускорение будет равно a = 2L / t^2 = 2 х 277,8 / 10^2 = 5,556 м/с2. Время за которое автомобиль проедет 100 м с ускорением 5,556 м/с2 будет равно t = √(2 х 100 / 5,556) = 6 секунд. Тогда скорость, которую наберет автомобиль через 6 секунд будет равна v = L / t = 100 м / 6 с = 16,67 м/с.  

S = m х v;

S = (2910 кг / 9,81 м / с2) х 16,67 м/с = 48,5 кг х с,

т. е. чуть меньше 50 кН, которые указаны в таблице 8.1 СП 296.

Удар автомобиля о металлический столб

Удар автомобиля о железобетонный столб
Удар автомобиля о столб из композитных материалов

Ссылки:

  1. Расчет конструкций на динамические специальные нагрузки. Н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев, А. В. Забегаев.

Пример 2. Определение усилий в консольной ж/б опоре от прикрепленного к ней вентилятора

Исходные данные

На монолитную железобетонную опорную плиту размером 1,5 х 1,5 х 0,12 м установлен вентилятор дымоудаления ВО 16-308-6/37-11.2 ДУ с электродвигателем АИР 160 S8 и рабочим колесом ВО-16-308-НРЖ-6/37-11,2 из нержавеющей стали (прикрепленным к валу ротора электродвигателя).

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В1-1.jpg
Рис. 1. Схема расположения вентилятора

Расчетная нагрузка от собственного веса ж/б плиты:

Qпл = 2500 * 0,12 * 1,5 * 1,1 = 495 кг/пог.м;

Расчетная масса вентилятора Qвр = 573 * 1.05 = 601,65 кг;

Нормативная масса рабочего колеса вентилятора Qркв = 33,2 кг;

Нормативная масса электродвигателя вентилятора Qэдв = 135 кг;

Нормативная масса вращающихся элементов электродвигателя Qвээ берется из его паспортных данных или, если этих данных нет, в запас, можно принять равной:

Qвээ = 0,6 х Qэдв = 94,5 кг.

Суммарная нормативная масса вращающихся элементов вентилятора Qвэн (ротора электродвигателя и рабочего колеса, при его креплении непосредственно на вал ротора):

Qвэн = 33,2 кг + 94,5 кг = 127,7 кг.

Частота вращения вентилятора Nоб = 735 об/мин (12,35 Гц).

При смещении центра тяжести ротора от оси его вращения, при вращении, появляется центробежная сила Fвн, которая зависит от угловой скорости вращения w, массы ротора m и величины смещения центра тяжести от оси вращения e. Для определения вертикальной и горизонтальной вынуждающей силы центробежную силу Fвн раскладывают на вертикальную (действующую по закону синуса) и горизонтальную (действующую по закону косинуса) составляющие. При работе вентилятора частота его вращения изменяется, поэтому для расчетов выделяют три режима работы: запуск вентилятора, рабочий режим, с постоянной максимальной частотой вращения, режим остановки, при котором частота вращения уменьшается до нуля. Режим запуска и остановки рассматривают, если частота вращения вентилятора больше частоты собственных колебаний опоры, на которой он установлен, так как при прохождении частоты вращения от нуля до максимального значения и обратно до нуля, в какой-то момент времени, она будет совпадать с частотой колебаний опоры и вызывать резонанс. Если частота колебаний опоры выше частоты вращения вентилятора, то рассматривают только рабочий режим, при котором процесс вынужденных колебаний принимает установившийся гармонический характер. При этом режиме изменение перемещения во времени происходит с частотой возмущающей силы.

Эта сила постоянная по величине, но переменная по направлению создает динамическое воздействие на опору вентилятора, которую можно представить в виде гармонического воздействия во времени.

Амплитуда (максимальное значение) вертикальной составляющей нормативной центробежной силы Fвн, развиваемой при рабочем режиме вентилятора с точкой приложения на его оси:

Fвн = m*e*w^2 = 0,13 кг*сек^2/см * 0,05 см * (2 * 3,14 * (735 об/мин / 60 мин))^2 = 38,47 кг,

где m = Qвэ / g = 127,7 кг / 981 см/сек^2 = 0,13 кг*сек^2/см — вес вращающихся элементов,

e — нормальный эксцентриситет вращающихся частей (для вентиляторов с горизонтальной осью вращения, размещаемых на покрытиях зданий рекомендуется принимать 0,8 мм, в остальных случаях принимается равным 0,5 мм);

w = 2 * 3,14 * nоб / 60 рад/с — круговая частота возмущающей силы (частота вращения вентилятора);

g = 981 см/сек^2 — ускорение силы тяжести.

Амплитуда вертикальной составляющей расчетной динамической центробежной силы при стационарной работе вентилятора:

Fвр = 38,47 * 4 = 153,88 кг,

где 4 — коэффициент перегрузки для машин с номинально уравновешенными, а фактически неуравновешенными движущимися частями, учитывающий возможные большие отклонения эксцентриситета e, возникающие при длительной эксплуатации машин с вращающимися частями.

Крепление электродвигателя к корпусу вентилятора, а также крепления самого вентилятора к опорной плите принимается жестким, поэтому при расчете частоты собственных колебаний плиты от нормативных постоянных нагрузок также нужно учитывать нормативный вес вентилятора. Если первая частота собственных колебаний (частота основного тона) оказывается больше частоты вынужденных колебаний вентилятора, то последующие частоты и формы колебаний опоры не определяются.

Коэффициент неупругого сопротивления железобетона y при действии нормативной возмущающей силы более 100 кг принимаем равным 0,1.

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В3-2.jpg
Рис. 2. Схема нормативных нагрузок на плиту
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В4.jpg
Рис. 3. Схема колебания плиты по первой (вертикальной) форме колебаний
  1. В соответствии с ГОСТ 31351-2007 собственная частота колебаний пристенного фундамента (для избежания раскачки системы при резонансе) должна более чем в 1,5 раза превышать частоту вращения ротора вентилятора.

В результате модального расчета частота колебаний опорной плиты от постоянных нормативных нагрузок равна f = 25,32 Гц = 25,32 * 60 = 1 519 об/мин > 1,5 * 750 об/мин = 1125 об/мин, т. е. при рабочем режиме вентилятора, а также при его пуске и остановке резонанса возникнуть не может, поэтому можно рассчитывать усилия только от рабочего режима вентилятора.

2. В соответствии с таблицей 5 СП 26.13330.2012 для машин с вращающимися частями, при частоте вращения 500-750 об/мин, предельно допустимая амплитуда вертикальных колебаний основания, к которому крепится вентилятор aumax = 0,1 мм.

В соответствии с пунктом 5.1 Инструкции по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки: «Динамические перемещения несущих конструкций определяются по нормативным значениям динамических нагрузок. Динамические усилия (изгибающие и крутящие моменты, продольные и поперечные силы) определяются по расчетным значениям динамических нагрузок». Вертикальное возбуждающее воздействие Fвн (t) равно:

Fвн (t) = Fвн * sin (w * t)

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В5-2.jpg
Рис. 4. Максимальное перемещение плиты от нормативной динамической силы на расстоянии 1375 мм от заделки 0.026 мм
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В6.jpg
Рис. 5. График изменения во времени положения плиты (поведение) на расстоянии 1375 мм от заделки. Максимальная амплитуда перемещений через 0,027 секунды после начала действия динамической силы равна 0,026 мм

Максимальное динамическое перемещение (амплитуда колебаний) консольной плиты под правой крайней опорой вентилятора на расстоянии 1375 мм от заделки au = 0,026 мм < aumax = 0,1 мм, т. е. плита достаточно жесткая для восприятия динамической нагрузки от вентилятора.

РД 34.21.306-96 п. 4.5: «При оценке прочности и выносливости колебания конструкций можно считать безопасными, если наибольшее динамическое перемещение балки, перекрытия и других конструкций, совершающих колебания, связанные с изгибом, не превышает 1/50000 длины пролета. В этом случае при проверке несущей способности конструкции можно не учитывать динамических нагрузок».

Динамическое перемещение балки на расстоянии 1375 мм от заделки:

au = 0,026 мм < 1375/50000 = 0,0275 мм,

т. е. динамическое воздействие можно не учитывать при расчете прочности и выносливости плиты. Так как данный документ является рекомендательным определим расчетные усилия в плите с учетом динамической нагрузки.

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В2-5.jpg
Рис. 6. Схема расчетных статических нагрузок на плиту
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В7-1.jpg
Рис. 7. Эпюра моментов в плите от расчетных статических нагрузок
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В8-1.jpg
Рис. 8. Эпюра поперечных сил в плите от расчетных статических нагрузок
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В9.jpg
Рис. 9. Схема расчетной динамической нагрузки на плиту
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В10.jpg
Рис. 10. Эпюра моментов в плите от расчетной динамической нагрузки
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В11.jpg
Рис. 11. Эпюра поперечных сил в плите от расчетной динамической нагрузки
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В12.jpg
Рис. 12. Эпюра моментов в плите от суммарной расчетной статической и динамической нагрузки
Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - В13.jpg
Рис. 13. Эпюра поперечных сил в плите от суммарной расчетной статической и динамической нагрузки

Так как на данной плите нахождения людей не предусматривается, проверку вредного влияния колебаний данной плиты на людей можно не производить.

При установке оборудования следует также обращать внимание на шумоизоляцию.

Пример прохождения звука от виброустройства через несущую конструкцию

Пример уменьшения шума при эффективном использовании шумоизоляции

Пример резонанса при действии вынуждающей силы

Ссылки по теме:

  1. Пример расчета собственных колебаний консольного стержня в программе ЛИРА-САПР;
  2. Теория гасителей колебаний;